Ablepharie

Unter einer Ableitung oder Herleitung versteht man in der mathematischenLogikeine formale Folgerung von (neuen) Aussagen aus einer Menge von gegebenen Aussagen. Die zulässigen Schlussregelnsind in einem Kalküldefiniert.

Die einfache Anwendung einer solchen Regel auf Aussagen nennt man einen Ableitungsschritt.

Eine Aussage $φ$ heißt ableitbar oder beweisbar aus einer gegebenen Menge $Θ$ von Aussagen, wenn sie durch eine endliche Folge von Ableitungsschritten erreicht werden kann, wobei man von einer (ggf. leeren) Aussagenmenge $Θ$ , den Prämissenoder Annahmen, ausgeht.

Fügt man alle ableitbaren Aussagen zur Aussagenmenge hinzu (man sagt, man bildet den deduktiven Abschluss), so erhält man eine Theorie.

Beispiel (vgl. Aussagenlogik):

$\Theta \quad = \quad \{ \phi, \psi, \zeta \}$

sei als Aussagenmenge gegeben und eine Ableitungsregel des Kalküls sei

$\phi \qquad \psi \over \phi \wedge \psi$ ,

so kann z. B. $\phi \wedge \psi$ und $\zeta \wedge \psi \wedge \phi$ abgeleitet werden.

Bei der Ableitbarkeitsrelation (bzw. dem Ableitbarkeitsbegriff) handelt es sich um eine Relation zwischen einer Menge von Aussagen, den Prämissen, und einer einzelnen Aussage, der Konklusion. Für die Ableitbarkeit wird oft das Symbol $\vdash$ verwendet. $\Theta \vdash \phi$ ist dabei zu lesen als: "aus $Θ$ ist $φ$ ableitbar". Führen wir obiges Beispiel fort, so können wir schreiben:

$\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \psi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \zeta$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi \wedge \phi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi \wedge \psi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \phi \wedge \zeta$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \psi \wedge \phi$ , $\{ \phi, \psi, \zeta \} \vdash \psi \wedge \psi$ usw.

Unterschiedliche Logikendefinieren jeweils einen unterschiedlichen Ableitbarkeitsbegriff. So gibt es einen aussagenlogischenAbleitbarkeitsbegriff, einen prädikatenlogischen, einen Intuitionistischen, einen modallogischenusw.

Obwohl es also unterschiedliche Ableitbarkeitsrelationen gibt, gibt es doch eine Reihe von Eigenschaften, die den meisten Ableitbarkeitsrelationen (zumindest den obengenannten) gemeinsam sind

Inklusion: $\Gamma \cup \{\mathrm{A}\}\vdash \mathrm{A}$ (Jede Annahme ist auch eine Folgerung).
Idempotenz: Wenn $\Gamma \vdash \mathrm{A}$ und $\Gamma \cup \{\mathrm{A}\} \vdash \mathrm{B}$ , dann $\Gamma \vdash \mathrm{B}$ (Durch Hinzunahme von Folgerungen zu den Annahmen erhält man keine neuen Folgerungen.)
Monotonie: Wenn $\Gamma \vdash \mathrm{A}$ , dann $\Gamma \cup \Delta \vdash \mathrm{A}$ (Hinzufügen von Annahmen erhält die bisher möglichen Folgerungen.)
Kompaktheit; Wenn $\Gamma \vdash \mathrm{A}$ , dann gibt es eine endliche Menge $Δ$ mit $\Delta \subseteq \Gamma$ , so dass $\Delta \vdash \mathrm{A}$ . (Jede Folgerung aus einer unendlichenAnnahmenmenge ist bereits aus einer endlichen Teilmengezu erreichen.)

Siehe auch: Inferenzoperation

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