Alternierende

Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, bei der die Reihenglieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Ein einfaches Beispiel einer alternierenden Reihe ist die alternierende harmonische Reihe

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} + \ldots$

Die wahrscheinlich bekanntesten alternierenden Reihen sind die Reihenentwicklungendes Sinusund Kosinus.

$sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots$

$cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots$

Zur Untersuchung der Konvergenz dieser Reihen kann das Leibniz-Kriteriumangewandt werden.

Siehe auch: Folge

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