Arcus

Das Bogenmaß eines Winkelsist eine Zahl, die die Weite des Winkels beschreibt. Sie ist als das Verhältnis von Bogenlänge zu Radius definiert.

Zum Kennzeichnen von Winkelgrößen wird die dimensionsloseSI-EinheitRadiant mit dem Einheitenzeichenrad, manchmal auch arc, angefügt.

Der Umrechungsfaktor eines Winkels α von rad in Gradlautet:

α_grad = α_bogen * 180/

π

~ 57,30 * α_bogen

Die Angaben Bogenminuteund Bogensekundebeziehen sich nicht auf das Bogenmaß, sondern sind abgeleitete Größen der Einheit Grad.

Es gibt 2?(etwa 6,28318531) als Bogenmaß in einem vollständigem Kreis, daher ist:

$2\pi\mbox{rad} = 360^\circ$

$1 \mbox{rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}29577951^\circ$

oder:

$360^\circ=2\pi\mbox{rad}$

$1^\circ=\frac{2\pi}{360}\mbox{rad}=\frac{\pi}{180}\mbox{rad} \approx 0{,}01745329\mbox{rad}$

Inhaltsverzeichnis

1 Details
2 Winkel im Bogenmaß
3 Winkelgeschwindigkeiten und Bogenmaß
- 3.1 Ohne Bogenmaß ...
- 3.2 .. und mit Bogenmaß
4 Mathematische Winkelfunktionen
5 Spezielle Winkel im Bogenmaß
6 Umrechnung
7 Fläche und Bogenmaß
8 Taschenrechner und Computer
9 Weblinks

Details

Das Bogenmaß gibt die Größe eines Winkelsals Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an. Das Bogenmaß ist dimensionslos.

Die Einheitfür ebene Winkel ist im SI 1 m/m = 1. Für diese abgeleitete SI-Einheitdarf bei der Angabe von ebenen Winkel auch der spezielle Name Radiant mit dem Einheitenzeichenrad benutzt werden. Diese Festlegung wurde von den deutschen Rechtsvorschriften über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen übernommen. Danach darf der Radiant nicht zusammen mit SI-Vorsätzenbenutzt werden, es gibt also beispielsweise weder eine gesetzliche Einheit Millirad, noch ein gesetzliches Einheitenzeichen crad u. s. w.

Spannt z. B. ein Winkel bei einem Radius von 2 Metern eine Kreisbogenlänge von 0,5 Metern auf, ist das Bogenmaß 0,5 m / 2 m, also 0,25 (Dimension 1, bzw. Länge / Länge). Der Umfangeines vollen Kreisesist das $2π$ -fache seines Radius; somit beträgt das Bogenmaß des zum Vollkreis gehörenden Winkels $2π$ ; dieser Winkel heißt Vollwinkelund ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen, übrigens eine ohne Einheitenzeichen. (Hinweis wegen eventueller Verwechslungsgefahr: Bis 31. Dezember 1977 war in Deutschland das Radmit dem Einheitenzeichen rd gesetzliche Einheit der Energie- und Äquivalentdosis; 1 rd = 1 cGy = 1 cJ/kg.)

Im Gegensatz dazu wird bei den z. B. in der Nautiküblichen Winkelangaben der Vollkreis in 360 Teile oder 360° (Grad) aufgeteilt und der Winkel als Vielfaches der EinheitGradangegeben.

Winkel im Bogenmaß

Bild:Bogenmass.gif

Das Bogenmaß ist 1, wenn die Bogenlänge (b) gleich dem Radius (r) ist

Ein Bogenmaß von $2π$ entspricht genau dem Umfangdes Einheitskreisesund damit einem Winkel von 360°. Kleinere Winkel sind Teile von $2π$ , etwa $π$ für 180° oder $π / 4$ für 45°. Bei Umrechnungen tritt die Kreiszahl $π$ auf:

1° entspricht dem Bogenmaß

2π / 360

oder ungefähr 0,01745

Eine Bogenmaßangabe von 1 bedeutet, dass Radius und Bogen auf einem Kreis gleich lang sind, was bei einem Winkel von 180°/ $π$ der Fall ist, also ungefähr bei 57,29°.

Um deutlich zu machen, dass eine Angabe im Bogenmaß erfolgt, kann man den Zahlenwert durch arc (von lat. arcus = Bogen) oder rad (von Radiant) ergänzen. Dies sind jedoch keine Einheiten im üblichen Sinne und werden bei Berechnungen nicht berücksichtigt, wie sonst etwa Meter pro Sekunde für die Geschwindigkeit.- Der Radiant(Einheitenzeichen: rad) ist jedoch im Gegensatz zum Vorstehenden der besondere Name für die abgeleitete SI-Einheit1 (m/m) bei Winkelangaben. Schreibweisen mit "arc" sind demnach nicht SI-konform, Schreibweisen mit "rad" also vorzuziehen.

Winkelgeschwindigkeitenund Bogenmaß

Ohne Bogenmaß ...

Es soll die Geschwindigkeit an der Spitze des Minutenzeigers einer Turmuhr mit einer Länge von fünf Metern berechnet werden. Der Zeiger benötigt für eine Vollumdrehung genau eine Stunde, überstreicht also 360° pro Stunde. Der Kreisumfang beträgt

$U = 2\,\pi\cdot 5\ \mathrm{m} = 31{,}416\ \mathrm{m}$ ,

die Geschwindigkeit also

$v = \frac{U}{t} = \frac{31{,}416\ \mathrm{m}}{3600\ \mathrm{s}} = 0{,}008727\ \mathrm{\frac{m}{s}}$

.. und mit Bogenmaß

Hier wird zunächst die Winkelgeschwindigkeit des Minutenzeigers bestimmt. Dies ist die Bogenlänge auf dem hypothetischen Einheitskreis pro Zeiteinheit. Das Bogenmaß für eine Vollumdrehung ist $2\,\pi$ , die Zeit wieder eine Stunde oder 3600 Sekunden. Die Winkelgeschwindigkeit ist also

$\omega_{\mbox{Minutenzeiger}} = \frac{2\,\pi}{3600\ \mathrm{s}} = \frac{0{,}00174532\ \mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$ .

Um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten, muss man die Winkelgeschwindigkeit nur noch mit der Länge l/(Dem Radius) multiplizieren:

$v = \omega \cdot l = \frac{0{,}00174532}{\mathrm{s}} \cdot 5\ \mathrm{m} = 0{,}008727\ \mathrm{\frac{m}{s}}$ .

Die Zahlenwerte wurden mit rad als Angaben im Bogenmaß gekennzeichnet. Bei der Geschwindigkeitsberechnung wird rad nicht berücksichtigt, die Einheit der Geschwindigkeit ist daher m/s, nicht rad mal m/s.

Der Vorteil der Berechnung mit dem Bogenmaß ergibt sich aus der Tatsache, dass man nur den Winkel pro Sekunde mit der Länge multiplizieren muss, um die Geschwindigkeit an der Spitze zu erhalten.

Mathematische Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen Sinusund Kosinuskönnen anschaulich dadurch definiert werden, dass man im Einheitskreis einen Zeiger im mathematisch positiven Drehsinn (also im Gegenuhrzeigersinn) rotieren lässt und die y-Koordinate der Zeigerspitze über der Bogenlänge - dem Bogenmaß - aufträgt.

Auf diese Weise lassen sich auch die Ableitungendieser Funktionen bestimmen:

$\sin^\prime x = \cos x$

$\cos^\prime x = -\sin x$

(x muss hier im Bogenmaß angegeben werden.)

Spezielle Winkel im Bogenmaß

$\begin{matrix} 0^\circ &=& 0 \\ 45^\circ &=& \frac{1}{4} \pi \\ 57^\circ\, 17'\, 44'' &\approx& 1 \\ 90^\circ &=& \frac{1}{2} \pi \\ 180^\circ &=& \pi \\ 270^\circ &=& \frac{3}{2}\pi \\ 360^\circ &=& 2\pi \end{matrix}$

Umrechnung

Von Grad nach Bogenmaß:

${\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Grad} \cdot \pi} {180}$

Von Bogenmaß nach Grad:

${\rm Winkel}_{\rm Grad} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} \cdot 180} {\pi}$

Fläche und Bogenmaß

Wenn $x$ das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Flächedes dazugehörigen Kreissektors $A = r 2 x / 2$ , also ist $x = 2 A / r 2$ . Alternativ lässt sich daher das Bogenmaß auch als das doppelte Verhältnis von Kreissektorfläche zu Quadrat des Radius oder auch als die doppelte Fläche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreisdefinieren. Beispielsweise hat ein Viertel des Einheitskreises, also ein Winkel von $\frac{\pi}{2}$ im Bogenmaß, eine Fläche von $A=\frac{\pi}{4}$ . Dieser Zugang ist unter anderem zweckmäßig bei der Interpretation der Area-Funktionenals Flächen, siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Taschenrechner und Computer

Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise im Bogenmaß. Dazu muss der Modus rad gewählt werden.

In mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden.

Weblinks

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten
Umrechnung von Gradangaben (Altgrad / Neugrad) (Online)bg:??????

ca:Radiant (angle) cs:Radián da:Radian en:Radian eo:Radiano es:Radián et:Radiaan fi:Radiaani fr:Radian gl:Radián he:????? it:Radiante ja:???? ko:??? nl:Radiaal no:Radian pl:Radian pt:Radiano ru:?????? sl:Radian sr:??????? sv:Radian uk:?????? zh:??

Von "http://de.wikipedia.org/Bogenma%C3%9F"

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