Axiale

Ein Pseudovektor im Spaltenvektorraum ?³, auch axialer Vektor genannt, ist ein Vektor, der, anders als ein gewöhnlicher Vektor(zur Unterscheidung auch polarer Vektor genannt), invariant gegenüber der Punktspiegelungals Koordinatentransformation ist.

Mit anderen Worten: Während ein polarer Vektor (x,y,z) bei Inversion(Punktspiegelung am Koordinatenursprung) übergeht in (-x,-y,-z), bleiben bei einem Pseudovektor die Koordinaten unverändert.

Man kann einen Pseudovektor c aus einem Paar (a,b) polarer (d.h. gewöhnlicher) Vektoren durch Bildung des Kreuzproduktesc:=a×b konstruieren. Somit bleibt beim Übergang von (a,b) zu (-a,-b) per Punktspiegelung c=(-a)×(-b) invariant.

Das Kreuzproduktc eines polaren Vektors d mit einem Pseudovektor ist wieder ein Vektor, also ist c = d × (a × b) ein Vektor. Der Begriff des Pseudovektors ist nachgerade aus der Notwendigkeit entstanden, die lineare Abbildung W(v):=w×v invariant (für Physiker: kovariant) unter Koordinatentransformationen zu gestalten. Aus dem Transformationsverhalten der Abbildungsmatrix von W wird dabei das Transformationsverhalten von w abgeleitet.

Im allgemeinen Fall ist ein Pseudovektor in einem n-dimensionalen Spaltenvektorraummit euklidischem Skalarproduktein antisymmetrischerTensor(n-1)-ter Stufe. Da dieser wieder durch n Koordinaten charakterisiert werden kann, kann man ihm einen gewöhnlichen Vektor zuordnen (s. Hodge-Stern-Operator). Genauer, der Pseudovektor c zu den Vektoren a₁, ..., a_n-1 entsteht durch Laplace-Entwicklung Determinante der Matrix A(x)=(a₁, ...,a_n-1,x), die aus diesen Spaltenvektoren zusammengesetzt ist, nach der letzten Spalte. d.h.

$c_1x_1+\dots+c_nx_n=\det \begin{pmatrix} a_{1,1}&\dots&a_{1,n-1}&x_1\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n,1}&\dots&a_{n,n-1}&x_n\\ \end{pmatrix}$

Beispiel: Spiegelung an einem Punkt

Sei a= (1,2,3), b= (-7, 8, 9). Dann beträgt das Kreuzproduktc = a x b: c= (-6, -30, 22).

Bei Inversion geht a über in a'=(-1, -2, -3) und b in b'= (7, -8, -9). Das Kreuzprodukt c' ist jedoch unverändert: c' = c = (-6, -30, 22).

Beispiel: Spiegelung an einer Ebene

Betrachten wir das Beispiel einer rotierenden Scheibe. Die Scheibe habe eine rote Oberseite und eine gelbe Unterseite. Die Rotation wird durch den Winkelgeschwindigkeitsvektor beschrieben. Nehmen wir an, die Rotationsrichtung sei so, dass der Winkelgeschwindigkeitsvektor von der roten Oberseite nach oben wegzeigt. Nun betrachten wir das Spiegelbild dieser rotierenden Scheibe. Angenommen wir wüssten nicht, dass es sich um Spiegelbild handelt. Wollen wir den Winkelgeschwindigkeitsvektor des Spiegelbildes einzeichnen, so müssen wir ihn von der gelben Unterseite mit dem Pfeil nach unten zeichnen. Die Richtung des Winkelgeschwindigkeitsvektor hat sich durch die Spiegelung umgekehrt.

Beispiele aus der Physik mit dem Ortsvektor $\vec r$ , dem Geschwindigkeitsvektor $\vec v$ und dem Nablaoperator $\nabla$ :

$\vec r \times \vec v$ ,

$\nabla \times \vec v = \mathbf {rot} \; \vec v$ .

Weiterhin alle Größen, die als Kreuzprodukt eingeführt werden: Drehimpuls, Magnetfeld, Winkelgeschwindigkeitetc.en:Pseudovector sv:Pseudovektor

Von "http://de.wikipedia.org/Pseudovektor"

Seitenkategorien: Theoretische Physik| Lineare Algebra

Dieser Artikel basiert auf dem Artikel aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation.
In der Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.