Elliptozytose

Ein Elliptisches Integral ist ein Integralvom Typ

$\int R \left(x,\sqrt{P(x)} \right)dx$

wobei R eine rationale Funktionin zwei Variablenund P(x) ein Polynomdritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelleist.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, doch können sie durch Variablentransformationen in eine Summe von elementaren Funktionenund Integralen der unten beschriebenen Form für 0 < k² < 1 überführt werden. Diese Integrale heißen Unvollständige Elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Ordnung; die durch die Substitution

$x = \sin \varphi$

erhaltene Darstellung nennt man Legendresche Normalform.

Elliptische Integrale sind die Umkehrfunktionender Elliptischen Funktionen.

Variablentransformation

$\int_{0}^{x} \frac {dx}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} \; = \; \int_{0}^{\sin\varphi} \frac {d\varphi}{\sqrt{(1 - k^2\sin^2\varphi)}},$

$\int_{0}^{x} \sqrt {\frac {1 - k^2x^2}{1 - x^2}}\,dx \; = \; \int_{0}^{\sin\varphi} \sqrt {1 - k^2 \sin^2\varphi}\,d\varphi$

$\int_{0}^{x} \frac {dx}{(1 - hx^2) \sqrt {(1 - x^2)(1 - k^2x^2)}} \; = \; \int_{0}^{\sin\varphi} \frac {d\varphi}{(1 + h\sin^2\varphi)\sqrt {1 - k^2 \sin^2\varphi}}$ en:Elliptic integral

fr:Intégrale elliptique pl:Całki eliptyczne

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