Fallhand

In der Mathematikheißt eine Funktionoder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend bzw. isoton). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend (antiton), wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt.

Streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, jedoch nicht konstant sind.

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
2 Definitionen
3 Weitere Eigenschaften
4 Weblinks

Beispiele

Bild:Ygleichxhoch3.png

Die Funktion y=x³ ist überall streng monoton steigend.

Die Folge

1,3,5,7,9,...

ist streng monoton steigend.

Die Folge

1,3,3,5,6,8,8,9,1000,1200

ist monoton steigend, jedoch nicht streng monoton steigend (3 und 8 kommen doppelt vor).

Die Funktion

y = x 3

ist über den gesamten Wertebereich streng monoton steigend. Bei x=0 hat sie zwar eine Steigung von 0, jedoch nur an diesem einen Punkt.

Die Funktion

y = x 2

ist im Bereich von minus unendlich bis Null (einschließlich) ( $x \leq 0$ ) streng monoton fallend. Im Bereich von Null (einschließlich) bis plus unendlich ( $x \geq 0$ ) ist sie streng monoton steigend.

Definitionen

Sei $\begin{matrix}f: A \rightarrow B\end{matrix}$ eine Funktion. Auf $\begin{matrix} A \end{matrix}$ und $\begin{matrix} B \end{matrix}$ sei jeweils eine Ordnungsrelation $\begin{matrix} \leq \end{matrix}$ definiert. Dann heißt die Funktion $\begin{matrix} f \end{matrix}$ monoton steigend, wenn:

für alle $a,b \in A: a < b \Rightarrow f(a) \leq f(b)$ .

Gilt anstelle von $f(a) \leq f(b)$ sogar $\begin{matrix}f(a) < f(b) \end{matrix}$ , so heißt die Funktion $\begin{matrix} f \end{matrix}$ streng monoton steigend. Entsprechend gilt natürlich für $\begin{matrix} \geq \end{matrix}$ bzw. $\begin{matrix} > \end{matrix}$ monoton fallend bzw. streng monoton fallend.

Eine Folge $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ heißt monoton steigend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt: $a_{n+1} \geq a_n$ .

Eine Folge $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ heißt streng monoton steigend, wenn für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt: $\begin{matrix}a_{n+1} > a_n\end{matrix}$ .

Weitere Eigenschaften

Für monotone Funktionen gilt:

Sie haben überall in ihrem Definitionsbereicheinen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
Sie können nur Sprünge als Unstetigkeitenhaben.
Die Anzahl der Sprünge in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar(aber i.A. nicht notwendigerweise endlich).
Sie sind fast überall differenzierbar.
Eine im Intervall [a,b] definierte monotone Funktion ist Riemann-integrierbar.

Weblinks

Monotonie von Funktionen (Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktionen:Monotonic function

he:פונקציה מונוטונית pl:Funkcja monotoniczna

Von "http://de.wikipedia.org/Monotonie_%28Mathematik%29"

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