Lokalisierte

Lokalisierbarkeit ist in der Mathematik, genauer in der Maßtheorieeine Eigenschaft, die Maßraumzukommt.

Definition

Dabei heißt ein Maßraum $(S, \mathcal A, \mu)$ lokalisierbar, wenn gilt: Ist $\mathcal A_0 := \{A \in \mathcal A: \mu(A) < \infty\}$ und $(g_A)_{A \in \mathcal A_0}$ eine Familie messbarer Funktionen $g_A: A \to \mathbb R$ mit

$g_A|_{A\cap B} = g_B|_{A \cap B}$ für alle $A,B \in \mathcal A$ mit $\mu(A), \mu(B) < \infty$

so existiert eine lokal messbareFunktion $g: S \to \mathbb R$ mit $g | A = g A$ für alle $A \in \mathcal A_0$ .

Erläuterung

In einem lokalisierbaren Maßraumist es also möglich, lokal konsistent gegebene messbare Funktionen zu einer (lokal) messbaren Funktion, die auf dem ganzen Raum definiert ist, zusammenzusetzen. Lokal bedeutet hierbei auf Mengen endlichen Maßes.

Eigenschaften

Die vielleicht wichtigste Eigenschaft eines lokalisierbaren Maßraums ist vielleicht die, das in lokalsierbaren Räumen der Dualraumdes L¹als der Raum der lokal messbaren, lokal im wesentlichen beschränkten Funktionen beschrieben werden kann. Im Fall σ-endlicherMaßräume fällt dieser Raum, mit dem üblichen L^∞zusammen.

Von "http://de.wikipedia.org/Lokalisierbarkeit"

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