Retraktion

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Topologische Räume
2 Spezielle Kategorien
- 2.1 Topologische Räume
  - 2.1.1 Deformationsretrakt
- 2.2 Pfeilkategorie

Definition

In der Kategorientheorieversteht man unter einer Retraktion einen Morphismusf, der ein Rechtsinverses besitzt, das heißt, zu dem es einen Morphismus g gibt mit f o g = id.

Ein Objekt X einer Kategorie $\mathcal{C}$ heißt Retrakt eines Objekts $Y\in |\mathcal{C}|$ , wenn es in $\mathcal{C}$ einen Pfeil $f\colon X\to Y$ und eine Retraktion $r\colon Y\to X$ zu f, also einen Pfeil r mit $r\circ f=id_X$ , gibt.

Topologische Räume

In der Topologie, also in der Kategorie Top, versteht man unter einer Retraktion eine stetige Funktion $f: X \to Y$ , wobei Y eine Teilmenge von X ist und f alle Punkte von Y unverändert lässt, also f(y)=y für alle y aus Y.

Spezielle Kategorien

Topologische Räume

Ein Teilraum A eines topologischen RaumsX heißt Retrakt von X, wenn es eine Retraktion r zur Einbettung $i\colon A\to X$ gibt.

A ist genau dann Retrakt von X, wenn jede stetige Abbildung $f\colon A\to Y$ stetig zu einer Abbildung $g\colon X\to Y$ fortgesetzt werden kann:

Gibt es eine Retraktion $r\colon X\to A$ , so ist $g := f \circ r$ stetige Fortsetzung.
Eine Fortsetzung von $i d A$ zu einer stetigen Abbildung $r\colon X\to A$ ist eine Retraktion.

Deformationsretrakt

A heißt Deformationsretrakt, wenn $i\circ r$ homotop zu $i d X$ relativ A ist.

Deformationsretraktionen sind spezielle Homotopieäquivalenzen, die diese Äquivalenzrelationerzeugen.

Pfeilkategorie

Ein Pfeil f ist Retrakt eines Pfeils g, wenn es eine natürliche Transformation $\eta\colon f\to g$ und eine Retraktion $r\colon g\to f$ gibt, also das folgende Diagramm kommutiert: Bild:Retrakt.png

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