Sehnenzyste

Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt

S

, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Bild:Sehnensatz2.PNG

Gegeben sei ein Kreismit zwei Sehnendie sich in einem Punkt $S$ schneiden. Bezeichnet man die Berührungspunkte des Kreises mit der einen Sehne als $A$ beziehungsweise $C$ und die andere Sehne $B$ beziehungsweise $D$ , so gilt:

$\overline{AS} \cdot \overline{CS} = \overline{BS} \cdot \overline{DS} \Rightarrow a \cdot c = b \cdot d$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

$\overline{AS} : \overline{DS} = \overline{BS} : \overline{CS} \Rightarrow {a \over d}={b \over c}$

Umgekehrt gilt auch:

Wenn für die Diagonalen eines Vierecks $A B C D$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $S$ gilt:

$\overline {AS} \cdot \overline {CS} = \overline {BS} \cdot \overline {DS} \Rightarrow a \cdot c = b \cdot d$

dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!

Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatzund der Sekanten-Tangenten-Satz? mit Hilfe ähnlicher Dreieckebeweisen:

Die Dreiecke $A S D$ und $B S C$ sind ähnliche Dreieckedenn:

1) Die Scheitelwinkelin $S$ sind gleich groß $\varphi _1=\varphi _2$

2) Die Umfangswinkelüber einer Sehne sind gleich groß; Sehne $\overline{AB}$ ergibt $\gamma _1=\delta _1 \,$

beziehungsweise Sehne $\overline{CD}$ ergibt $\alpha _1=\beta _1 \,$

$\triangle ASD \sim \triangle BSC$ ähnliche Dreiecke

daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

${a \over d}={b \over c}$

und umgewandelt

$a \cdot c = b \cdot d$

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