Sinus

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Dieser Artikel behandelt mathematische Funktionen. Für weitere Bedeutungen siehe Sinus und Kosinus (Begriffsklärung)

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind mathematische Funktionenaus der Klasse der trigonometrischen Funktionen.

In einem rechtwinkligen Dreieckgilt:

Bild:Sin 1to1.png

Graph der Sinusfunktion

Der Sinus eines Winkelsist das Verhältnis der Gegenkathete (Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt) zur Hypotenuse (Seite gegenüber dem rechten Winkel).

$\mbox{Sinus eines Winkels} = \frac{\mbox{Gegenkathete des Winkels}}{\mbox{Hypotenuse}}$

Bild:Cos 1to1.png

Graph der Kosinusfunktion

Der Kosinus ist das Verhältnis der Ankathete (das ist jene Kathete, die einen Schenkel des Winkels bildet) zur Hypotenuse.

$\mbox{Kosinus eines Winkels} = \frac{\mbox{Ankathete des Winkels}}{\mbox{Hypotenuse}}$

Im rechtwinkligen Dreieck lassen sich Sinus und Kosinus nur für Winkel zwischen 0 und 90 Grad definieren.
Für beliebige Winkel ist der Sinus als y-Koordinate und der Kosinus als x-Koordinate eines Punktes am Einheitskreisdefiniert.
Mittels Potenzreihendarstellunglässt sich die Definition auf komplexeArgumente verallgemeinern.

Inhaltsverzeichnis

1 Herkunft des Namens
2 Geometrische Definition
- 2.1 Definition mit rechtwinkeligem Dreieck
- 2.2 Definition mit Einheitskreis
3 Wertebereich und spezielle Funktionswerte
- 3.1 Verlauf des Sinus in den vier Quadranten
- 3.2 Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten
- 3.3 Wichtige Funktionswerte
- 3.4 Weitere mit Wurzeln angebbare Funktionswerte
- 3.5 Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus
4 Umkehrfunktion
5 Stetigkeit
6 Zusammenhang mit dem Skalarprodukt
7 Additionstheoreme
8 Ableitung (Differentiation) und Integration von Sinus und Kosinus
- 8.1 Differentiation
- 8.2 Integration
9 Analytische Definition
- 9.1 Definition als Taylorreihe
- 9.2 Beziehung zur Exponentialfunktion
- 9.3 Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge
- 9.4 Definition als Lösung einer Funktionalgleichung
10 Produktentwicklung
11 Anwendungen
- 11.1 Geometrische Anwendungen
- 11.2 Fourierreihen
- 11.3 Physikalische Anwendungen
12 Siehe auch
13 Literatur
14 Weblinks

Herkunft des Namens

Die Bezeichnung ?Sinus? leitet sich von dem lateinischen ?sinus? ab, was soviel heißt wie ?Bogen? oder ?Busen?. Das Wort ist mit ?jiva? aus dem Sanskritverwandt, wo es etwa ?Bogensehne? bedeutet. Im Arabischen entwickelte sich das Wort zu ?jiba?: ?Tasche? oder ?Kleiderfalte?. ?Kosinus? bedeutet ?Sinus des Komplementärwinkels?.

Geometrische Definition

Definition mit rechtwinkeligem Dreieck

Bild:RechtwinkligesDreieck.png

Dreieck mit einem rechten Winkel in C

Der Sinus und der Kosinus definieren sich über die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck. Betrachtet man den Winkel zwischen Hypotenuse und einer der beiden Katheten, dann ist der Sinus das Verhältnis von der dem Winkel gegenüberliegenden Seite (die eine Kathete ist) zur Hypotenuse, und der Kosinus das Verhältnis von der Kathete, die einen Schenkel des Winkel bildet, zur Hypotenuse (die den anderen Schenkel des Winkel bildet).

Formelmäßig gilt hier: Ist c die Hypotenuse und liegt der Winkel α zwischen c und der Kathete b, also der Kathete a gegenüber, dann ist der Sinus

$\sin (\alpha) = \frac{a}{c}$

und der Kosinus

$\cos (\alpha) = \frac{b}{c}$

Da aus geometrischen Gründen die Hypotenuse die längste Seite ist (denn sie liegt dem größten Winkel, also dem rechten Winkel, gegenüber), gelten auch stets sin (α) ≤ 1 und cos (α) ≤ 1.

Betrachtet man statt α den gegenüberliegenden Winkel β, so wechseln beide Katheten ihre Rolle, die Ankathete von α ist die Gegenkathete von β und die Gegenkathete von α ist die Ankathete von β, es gilt also

$\sin (\beta) = \frac{b}{c}$

und

$\cos (\beta) = \frac{a}{c}$

Da im rechtwinkeligen Dreieck α + β = 90° gilt, folgt

cos(α) = sin(90° - α)

und

sin(α) = cos(90° - α).

Auf dieser Beziehung beruht auch die Bezeichnung Kosinus, nämlich der Sinus des Komplementärwinkels.

Aus dem Satz des Pythagorasfolgt die Beziehung

sin²(α) + cos²(α) = 1 .

Definition mit Einheitskreis

Bild:Winkelfunktionen einheitskreis.PNG

Einheitskreis

Bild:Einheitskreis Ani.gif

Da im rechtwinkeligen Dreieck der Winkel zwischen Hypotenuse und Kathete Werte von 0 bis 90 Grad annehmen kann, sind Sinus und Kosinus zunächst nur für solche Winkel definiert. Für eine allgemeine Definition betrachtet man einen Punkt $P$ mit den Koordinaten $(x, y)$ auf dem Einheitskreis, also $x 2 + y 2 = 1$ . Der Ortsvektorvon $P$ schließt mit der x-Achse einen Winkel $α$ ein. Der Koordinatenursprung $(0,0)$ , der Punkt $(x,0)$ auf der x-Achse und der Punkt $P (x, y)$ bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Hypotenuse beträgt $\sqrt{x^2+y^2}=1$ . Die Ankathete des Winkels $α$ ist der Vektor $(x,0)$ der Länge $x$ , es gilt also

$\cos(\alpha)=x\!$

Die Gegenkathete des Winkels $α$ ist der Vektor von $(x,0)$ nach $(x, y)$ , also der Vektor $(0, y)$ der Länge $y$ , es gilt also

$\sin(\alpha)=y\!$

Die y-Koordinate eines Punktes im ersten Quadrantendes Einheitskreises entspricht also dem Sinus des Winkels zwischen seinem Ortsvektorund der x-Achse, die x-Koordinate dem Kosinus des Winkels. Setzt man diese Definition in den anderen Quadranten fort, so lassen sich Sinus und Kosinus für beliebige Winkel definieren.

Für negative Winkel betrachte man die Beziehung

sin( - α) = - sin(α)

und

cos( - α) = cos(α)

aus der sich Sinus und Cosinus für den vierten Quadranten, also Winkel zwischen -90 und 0 Grad berechnen lassen. Der Sinus ist also eine ungeradeFunktion, der Kosinus eine gerade.

Für Winkel größer 90 Grad betrachte man die Beziehung

$\sin(90^\circ+\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha)$

und

$\cos(90^\circ+\alpha)=-\cos(90^\circ-\alpha)$ ,

aus der sich Sinus und Cosinus für den zweiten und dritten Quadranten, also Winkel zwischen 90 und 270 Grad berechnen lassen.

Für Winkel kleiner -90 Grad und größer 270 Grad ergeben sich Sinus und Kosinus aus den Beziehungen

$\sin(\alpha)= \sin(\alpha+360^\circ)$

und

$\cos(\alpha)= \cos(\alpha+360^\circ)$ ;

Sinus und Kosinus sind also periodische Funktionenmit Periode 360 Grad.

Wertebereich und spezielle Funktionswerte

Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion können für reelleArgumentenur Werte zwischen -1 und 1 annehmen.

Verlauf des Sinus in den vier Quadranten

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Sinusfunktion folgendermaßen:

Quadrant	Grad	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	$0^\circ$	0	0			Nullstelle, Wendepunkt
1. Quadrant	$0^\circ<x<90^\circ$	$0 < x < π / 2$	positiv: $0 < sin x < 1$	steigend	konkav
	$90^\circ$	$π / 2$	1			Maximum
2. Quadrant	$90^\circ<x<180^\circ$	$π / 2 < x < π$	positiv: $0 < sin x < 1$	fallend	konkav
	$180^\circ$	$π$	0			Nullstelle, Wendepunkt
3. Quadrant	$180^\circ<x<270^\circ$	$π < x < 3π / 2$	negativ: $- 1 < sin x < 0$	fallend	konvex
	$270^\circ$	$3π / 2$	$- 1$			Minimum
4. Quadrant	$270^\circ<x<360^\circ$	$3π / 2 < x < 2π$	negativ: $- 1 < sin x < 0$	steigend	konvex

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Sinus daraus, dass der Sinus periodischmit der Periode 360° (bzw. 2? Radiant) ist, d. h. $\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha)$ . Außerdem gilt $\sin(\alpha + 180^\circ) = -\sin(\alpha)$ .

Verlauf des Kosinus in den vier Quadranten

Der Kosinus ist ein um 90° (bzw. ?/2 Radiant) phasenverschobener Sinus, es gilt $\cos(\alpha)=\sin(\alpha+90^\circ)$ .

In den vier Quadranten ist der Verlauf der Kosinusfunktion daher folgendermaßen:

Quadrant	Grad	Bogenmaß	Bildmenge	Monotonie	Konvexität	Punkttyp
	$0^\circ$	0	1			Maximum
1. Quadrant	$0^\circ<x<90^\circ$	$0 < x < π / 2$	positiv: $0 < cos x < 1$	fallend	konkav
	$90^\circ$	$π / 2$	0			Nullstelle, Wendepunkt
2. Quadrant	$90^\circ<x<180^\circ$	$π / 2 < x < π$	negativ: $- 1 < cos x < 0$	fallend	konvex
	$180^\circ$	$π$	$- 1$			Minimum
3. Quadrant	$180^\circ<x<270^\circ$	$π < x < 3π / 2$	negativ: $- 1 < cos x < 0$	steigend	konvex
	$270^\circ$	$3π / 2$	$0$			Nullstelle, Wendepunkt
4. Quadrant	$270^\circ<x<360^\circ$	$3π / 2 < x < 2π$	positiv: $0 < cos x < 1$	steigend	konkav

Für Argumente außerhalb dieses Bereiches erhält man den Wert des Kosinus daraus, dass der Kosinus so wie der Sinus periodischmit der Periode 360° (bzw. 2? Radiant) ist, d. h. $\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos(\alpha)$ . Außerdem gilt $\cos(\alpha + 180^\circ) = -\cos(\alpha)$ .

Wichtige Funktionswerte

Winkel $α$	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$	$180^\circ$	$270^\circ$
Sinus	$0\,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$1\,$	$0\,$	$-1\,$
Kosinus	$1\,$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}$	$0\,$	$-1\,$	$0\,$
Tangens	$0\,$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$1\,$	$\sqrt{3}$	nicht definiert	$0\,$	nicht definiert

Weitere mit Wurzeln angebbare Funktionswerte

Über die Berechnung der fünften Einheitswurzeln mittels einer quadratischen Gleichungerhält man $\sin(18^\circ)=\cos(72^\circ)=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Mit Hilfe der Additionstheoremekann man viele weitere solche Ausdrücke berechnen:

$\sin(15^\circ)$ erhält man aus $\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30^\circ)=\cos^2(15^\circ)-\sin^2(15^\circ)=1-2\sin^2(15^\circ)$ .

Aus $\sin(18^\circ)$ und $\sin(15^\circ)$ lassen sich dann z. B. $\sin(3^\circ)$ und dann rekursiv auch alle $\sin(n \cdot 3^\circ)$ berechnen.

Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus

$\sin(\alpha)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)$

$\sin^2\left(\alpha\right)+\cos^2(\alpha)=1$ (Satz des Pythagoras)

Insbesondere folgt daraus $|{\sin\alpha}|\leq 1$ und $|{\cos\alpha}|\leq 1$ . Diese Ungleichung gilt aber nur für reelle $α$ ; für die über die Potenzreihe definierten komplexen Argumente können Sinus und Kosinus beliebige Werte annehmen.

Umkehrfunktion

Da sich zu einem gegebenen Wert $\sin\alpha\in [-1,1]$ ein passender Winkel im ersten oder vierten Quadranten und zu einem gegebenen Wert $\cos\alpha\in [-1,1]$ ein passender Winkel im ersten oder zweiten Quadranten konstruieren lässt, folgt aus diesen geometrischen Überlegungen, dass die Funktionen

$\sin x: [-90^\circ, 90^\circ]\to[-1,1]$ und

$\cos x: [0^\circ, 180^\circ]\to[-1,1]$

eine Umkehrfunktionbesitzen. Diese Umkehrfunktionen

$\arcsin x: [-1,1] \to [-90^\circ, 90^\circ]$ bzw.

$\arccos x: [-1,1] \to [0^\circ, 180^\circ]$

werden Arkusfunktionengenannt. Der Name rührt daher, dass sich deren Wert nicht nur als Winkel, sondern auch als Bogenlänge (Arcus bedeutet Bogen) interpretieren lässt; für diese Interpretation ist die Angabe des Wertebereichs im Bogenmaß

$\arcsin x: [-1,1] \to [-\pi/2, \pi/2]$ bzw.

$\arccos x: [-1,1] \to [0, \pi]$

üblich. Eine andere Interpretation des Wertes als doppelter Flächeninhaltdes dazugehörigen Kreissektorsam Einheitskreis ist ebenfalls möglich; diese Interpretation ist insbesondere für die Analgoie zwischen Kreis- und Hyperbelfunktionennützlich.

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$ , denn für $y=\arccos(x)\!$ gilt $y\in [0, \pi]$ und $\sin(y)=\sqrt{1-\cos^2 y}$ .

$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$ , denn für $y=\arcsin(x)\!$ gilt $y\in [-\pi/2, \pi/2]$ und $\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2 y}$ .

$\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ , denn für $y=\arctan(x)\!$ gilt $y\in \left]-\pi/2, \pi/2\right[$ und $\sin(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{1+\tan^2y}}$ .

$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ , denn für $y=\arctan(x)\!$ gilt $y\in \left]-\pi/2, \pi/2\right[$ und $\cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}$ .

Stetigkeit

Da die Sinusfunktion

$\sin x: [-90^\circ, 90^\circ]\to[-1,1]$

und die Kosinusfunktion

$\cos x: [0^\circ, 180^\circ]\to[-1,1]$

monoton, surjektivund invertierbarsind, folgt, dass sie in diesen Quadranten stetigsind. Da die Funktionen in den anderen Quadranten lediglich gespiegelt bzw. periodisch fortgesetzt sind, sind die Sinus- und Kosinusfunktion für alle reellen Argumente stetig.

Zusammenhang mit dem Skalarprodukt

Der Kosinus steht in enger Beziehung mit dem Skalarproduktzweier Vektoren $\vec{a}=\left( a_1, a_2, \dots, a_n \right)$ und $\vec{b}=\left( b_1, b_2, \dots, b_n \right)$ :

$\vec{a}\cdot \vec{b} = |\vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \angle (\vec{a},\vec{b})= {a_1}{b_1}+{a_2}{b_2}+\dots + {a_n}{b_n}$ ,

das Skalarprodukt ist also die Länge der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels. In endlichdimensionalen Räumen lässt sich diese Beziehung aus dem Kosinussatzableiten. In abstrakten Vektorräumen mit innerem Produktwird über diese Beziehung der Winkel zwischen Vektoren definiert.

Additionstheoreme

Aus dem Skalarprodukt lassen sich die sogenannten Additionstheoreme herleiten:

Die Vektoren $\vec{a}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)$ und $\vec{b}_1=\left(\cos\beta, \sin\beta\right)$ der Länge 1 schließen den Winkel $α - β$ ein; mit dem Skalarprodukt folgt also

$\cos\left(\alpha-\beta\right)= \vec{a}\cdot \vec{b}_1 = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$ .

Die Vektoren $\vec{a}=\left(\cos\alpha, \sin\alpha\right)$ und $\vec{b}_2=\left(\cos\beta, -\sin\beta\right)$ der Länge 1 schließen den Winkel $α + β$ ein; mit dem Skalarprodukt folgt also

$\cos\left(\alpha+\beta\right)= \vec{a}\cdot \vec{b}_2 = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$ .

Aus $\sin\alpha=\cos\left(\alpha-90^\circ\right)$ und $\sin\left(\alpha-90^\circ\right) = \cos\left(\alpha-180^\circ\right) = -\cos\alpha$ erhält man die Additionstheoreme für den Sinus:

$\sin\left(\alpha+\beta\right) = \cos\left(\alpha-90^\circ+\beta\right) =$

$= \cos\left(\alpha-90^\circ\right) \cos\beta - \sin\left(\alpha-90^\circ\right) \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

sowie

$\sin\left(\alpha-\beta\right) = \cos\left(\alpha-90^\circ-\beta\right) =$

$= \cos\left(\alpha-90^\circ\right) \cos\beta + \sin\left(\alpha-90^\circ\right) \sin\beta = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ .

Setzt man in diesen Beziehungen $u = α + β$ und $v = α - β$ (beziehungsweise $\alpha=\frac{u+v}{2}$ und $\beta=\frac{u-v}{2}$ ), so erhält man durch Addition bzw. Subtraktion je zweier Additionstheoreme

$\cos u + \cos v = 2\cos\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2}$ ,

$\cos u - \cos v = -2\sin\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}$ ,

$\sin u + \sin v = 2\sin\frac{u+v}{2} \cos\frac{u-v}{2}$ und

$\sin u - \sin v = 2\cos\frac{u+v}{2} \sin\frac{u-v}{2}$ .

Weitere Identitäten finden sich in der Formelsammlung Trigonometrie.

Ableitung (Differentiation) und Integration von Sinus und Kosinus

Differentiation

Für die Ableitung der Sinusfunktiongilt

$\sin^\prime(x) = \cos(x)$

Aus $\cos(x)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ und der Kettenregelerhält man die Ableitung des Kosinus:

$\cos^\prime(x) = - \sin(x)$

und daraus die zweite Ableitung des Sinus:

$\sin^{\prime\prime}(x)=-\sin(x)$ .

Die dritte Ableitung ist daher

$\sin^{\prime\prime\prime}(x)=-\cos(x)$ .

und die vierte Ableitung ist wieder die Sinusfunktion selbst:

$\sin^{\prime\prime\prime\prime}(x)=\sin(x)$ .

In weiterer Folge erhält man daraus für die $4 n + k$ -te Ableitung des Sinus

$\sin^{(4n+k)}(x)=\left\{\begin{matrix} \sin (x) & \mbox{wenn } k=0 \\ \cos (x) & \mbox{wenn } k=1 \\ -\sin (x) & \mbox{wenn } k=2 \\ -\cos(x) & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.$

und für die $4 n + k$ -te Ableitung des Kosinus

$\cos^{(4n+k)}(x)=\left\{\begin{matrix} \cos (x) & \mbox{wenn } k=0 \\ -\sin (x) & \mbox{wenn } k=1 \\ -\cos (x) & \mbox{wenn } k=2 \\ \sin(x) & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.$

Diese Beziehung gilt nur, wenn $x$ im Bogenmaß angegeben wird. Wird der Winkel $α$ in Grad gemessen, so kommt nach der Kettenregelbei jeder Ableitung ein Faktor $\frac{\pi}{180}$ dazu, also beispielsweise $\sin^{\prime}(\alpha)=\frac{\pi}{180}\cos(\alpha)$ . Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in der Analysisder Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben; die Angabe von Winkel in Grad ist allerdings anschaulicher und daher bei geometrischen Überlegungen zweckmäßiger.

Das Integral von Sinus und Cosinus lässt sich leicht mit der folgenden Skizze merken:

            +Sinus
    -Cosinus      +Cosinus
            -Sinus

Man schreibt den +Sinus oben auf ein Blatt Papier und ergänzt auf der gegenüberliegenden Seite -Sinus; man schreibt den +Cosinus rechts auf das Blatt Papier und ergänzt auf der gegenüberliegenden Seite -Cosinus.

Liest man mit dem Uhrzeigersinn, kommt man bei der jeweiligen Ableitung aus; liest man gegen den Uhrzeigersinn, kommt man beim jeweiligen Integral aus.

So entspricht z. B. die Ableitung von -Sinus dem -Cosinus. So entspricht z. B. das Integral des -Sinus dem +Cosinus.

Integration

Aus den Ergebnissen über die Ableitung ergibt sich unmittelbar die Stammfunktionvon Sinus und Kosinus im Bogenmaß:

$\int\sin(\alpha)\,{\rm d}\alpha=-\cos(\alpha)+C,$

$\int\cos(\alpha)\,{\rm d}\alpha=\sin(\alpha)+C$ .

Analytische Definition

Obige Definitionen des Sinus und des Kosinus beinhalten geometrische Überlegungen. Geometriewird üblicherweise naiv-intuitiv und nicht auf axiomatischer Basis behandelt. Sinus und Kosinus spielen auch eine wichtige Rolle in der Analysis, in der aber ein viel formalererZugang zweckmäßig ist. Daher sind die geometrischen Definitionen für die Analysis nicht ausreichend, und es wird eine analytische Definition benötigt. Auf Basis einer streng formalisierten Geometrie lässt sich die Äquivalenz der geometrischen und der analytischen Definition zeigen; auf Basis einer naiven Geometrie sind die geometrischen Überlegungen allerdings lediglich als Heuristikzur Begründung der analytischen Definition zu betrachten.

Die analytische Definition erlaubt zusätzlich die Erweiterung auf komplexe Argumente. Sinus und Kosinus als komplexwertige Funktion aufgefasst sind holomorphund surjektiv.

Für die analytische Definition gibt es in der Literatur keinen einheitlichen Zugang; es sind mehrere äquivalente Varianten verbreitet.

Definition als Taylorreihe

Mit Hilfe der aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Sinus gilt für die $4 n + k$ -te Ableitung an der Stelle 0

$\sin^{(4n+k)}(0)=\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{wenn } k=0 \\ 1 & \mbox{wenn } k=1 \\ 0 & \mbox{wenn } k=2 \\ -1 & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.$

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklungum x=0:

$\sin (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$ $= x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$

Für die aus geometrischen Überlegungen berechneten Ableitung des Kosinus gilt für die $4 n + k$ -te Ableitung an der Stelle 0

$\cos^{(4n+k)}(0)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{wenn } k=0 \\ 0 & \mbox{wenn } k=1 \\ -1 & \mbox{wenn } k=2 \\ 0 & \mbox{wenn } k=3 \end{matrix}\right.$

Daraus ergibt sich folgende Taylorreihenentwicklungum x=0:

$\cos (x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $= 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$

Mit dem Quotientenkriteriumlässt sich zeigen, dass diese Potenzreihenfür jede komplexe Zahlx absolutund in jeder beschränkten Teilmenge der komplexen Zahlen gleichmäßigkonvergieren. Diese unendlichen Reihenverallgemeinern also die Definition des Sinus und des Kosinus von reellen auf komplexe Argumente. In der Analysiswerden die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion häufig mittels dieser Reihenentwicklung definiert. Auch $π$ wird in der Analysis üblicherweise nicht geometrisch, sondern beispielsweise über diese Reihe und die Beziehung $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle der Kosinusfunktion defniert.

Für kleine Werte zeigen diese Reihen ein sehr gutes Konvergenzverhalten. Zur numerischenBerechnung kann man daher die Periodizität und Symmetrie der Funktionen ausnutzen und den x-Wert bis auf den Bereich -?/4 bis ?/4 reduzieren (siehe Reduktionsformel). Danach sind für eine geforderte Genauigkeit nur noch wenige Glieder der Reihe zu berechnen. Das Taylorpolynom der Kosinusfunktion bis zur vierten Potenz z.B. hat im Intervall [-?/4, ?/4] einen relativen Fehler von unter 0,05%. Im Artikel Taylor-Formelsind einige dieser so genannten Taylorpolynome grafisch dargestellt und eine Näherungsformel mit Genauigkeitsangabe angegeben. Zu beachten ist allerdings, dass die Teilsummen der Taylorpolynome nicht die bestmögliche numerische Approximation darstellen; im "Handbook of Mathematical Functions" von Abrahmovitz und Stegun finden sich Näherungspolynome mit noch kleinerem Approximationsfehler.

Beziehung zur Exponentialfunktion

Die trigonometrischen Funktionen sind eng verbunden mit der Exponentialfunktion. Dieser Ansatz führt zum einen Sinus und Kosinus auf nur eine Reihezurück, und ist aus der Eulerformel

$e^{\mathrm{i}\varphi} = \cos\varphi + \mathrm{i} \sin\varphi$ .

motiviert. Für eine reelle Zahl $\varphi$ ist also $\cos\left(\varphi \right)$ der Realteilund $\sin\left(\varphi \right)$ der Imaginärteilder komplexen Zahl $e^{\mathrm{i}\,\varphi}$ .

Für beliebige komplexe Zahlen $z$ definiert man dann

$\sin z = {1 \over 2\,\mathrm{i}} \left(e^{\mathrm{i}z} - e^{-\mathrm{i}z} \right)$

und

$\cos z = {1 \over 2} \left(e^{\mathrm{i}z} + e^{-\mathrm{i}z} \right)$

Man kann aber auch den Sinus wie oben als Taylorreihedefinieren und dann die Übereinstimmung mit dieser Definition zeigen.

Ausgehend von dieser Definition lassen sich sehr leicht die Eigenschaften des Sinus und die Additionstheoremedes Sinus und Kosinus nachweisen.

Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge

Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. Die Definition mit Hilfe der Exponentialfunktion hat das selbe Problem, versteckt es allerdings im Beweis der Eulerformel.

Ein echter analytischer Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus erfordert, dass die geometrische Definition des Sinus und Kosinus zuerst analytisch formalisiert wird. Dies ist möglich, indem man den Einheitskreis $x^2+y^2=1\!$ beispielsweise als

$\gamma(t) = \left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right),\quad -\infty<t<\infty.$

parametrisiert. Die Bogenlängedieser Kurve berechnet sich als

$s(t) = \int_0^t |\dot\gamma(\tau)|\,\mathrm d\tau =\int_0^t\frac{2\,\mathrm d\tau}{\tau^2+1}.$

Wie leicht zu zeigen ist, ist $s(t)\!$ ungerade, stetig, streng monoton wachsend und beschränkt. Da die gesamte Bogenlänge dem Kreisumfang entspricht, folgt, dass das Supremum von $s(t)\!$ gleich $\pi\!$ ist; $\pi\!$ wird bei dieser Vorgangsweise also analytisch als Supremumvon $s(t)\!$ definiert.

Die Funktion

$s(t):\mathbb R\to(-\pi,\pi)$

ist auch differenzierbar:

$\frac{\mathrm d s}{\mathrm d t} = \frac{2}{1+t^2}$ .

Weil sie stetig und streng monoton wachsend ist, ist sie auch invertierbar, und für die Umkehrfunktion

$t(s):(-\pi,\pi) \to \mathbb R$

gilt

$\frac{\mathrm d t}{\mathrm d s} = \frac{1+t^2(s)}{2}$ .

Mit Hilfe dieser Umkehrfunktion $t(s)\!$ lassen sich nun Sinus und Kosinus als $y\!$ - und $x\!$ -Komponente von $\gamma\!$ analytisch definieren:

$\sin s := \frac{2t(s)}{1+t^2(s)}$

sowie

$\cos s := \frac{1-t^2(s)}{1+t^2(s)}$ .

Aus der Quotientenregelund der Kettenregelfolgen dann

$\frac{\mathrm d\sin s}{\mathrm d s} = \frac{2\left(1+t^2(s)\right) -4t^2(s)}{\left(1+t^2(s)\right)^2}\cdot\frac{1+t^2(s)}{2} =$

$= \frac{1-t^2(s)}{1+t^2(s)} = \cos s$

sowie

$\frac{\mathrm d\cos s}{\mathrm d s} = \frac{-2t(s)\left(1+t^2(s)\right)-2t(s)\left(1-t^2(s)\right)} {\left(1+t^2(s)\right)^2}\cdot\frac{1+t^2(s)}{2} =$

$= \frac{-2t(s)}{1+t^2(s)} = -\sin s$ .

Bei dieser Definition des Sinus und Kosinus über die analytische Berechnung der Bogenlänge werden die geometrischen Begriffe tatsächlich sauber formalisiert. Sie hat allerdings den Nachteil, dass im didaktischen Aufbau der Analysis der Begriff der Bogenlänge erst sehr spät formal eingeführt wird und daher Sinus und Kosinus erst relativ spät verwendet werden können.

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Eine anderer analytischer Zugang ist, Sinus und Kosinus als Lösung einer Funktionalgleichungzu definieren, die im Wesentlichen aus den Additionstheoremen besteht: Gesucht ist ein Paar stetigerFunktionen $f, g:\R\to\R$ , das für alle $x,y\in\R$ die Gleichungen

$f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\!$ und

$g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)\!$

erfüllt. Die Lösung $f\!$ definiert dann den Sinus, die Lösung $g\!$ den Kosinus. Um Eindeutigkeit zu erreichen, sind einige Zusatzbedingungen zu erfüllen. In Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1 wird zusätzlich gefordert, dass

$f(x)\!$ eine ungeradeFunktion,

$g(x)\!$ eine geradeFunktion,

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ , und

$\cos 0=1\!$

gilt. Bei diesem Zugang wird offensichtlich die Differenzierbarkeitdes Sinus vorausgesetzt; $\pi\!$ wird in weiterer Folge analytisch als das doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus definiert. Verwendet man den oben beschriebenen Zugang von Leopold Vietorisund berechnet die Ableitung des Sinus aus den Additionstheoremen, so ist es zweckmäßiger, $\pi\!$ auf geeigente Weise analytisch (beispielsweise als Hälfte des Grenzwerts des Umfangs des dem Einheitskreis engeschriebenen $2^n\!$ -Ecks) zu definieren und dann die Differenzierbarkeit der Lösung dieser Funktionalgleichung zu beweisen. Als Zusatzbedingung zu den Additionstheoremen fordert man dann beispielsweise

$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$ ,

$g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ , und

$g\left(\frac{\pi}{2n}\right)\ne 0$ für alle $n\in\N\backslash\lbrace 1 \rbrace$ .

Unter den getroffenen Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit der Lösung der Funktionalgleichung relativ einfach zu zeigen; die geometrisch definierten Funktionen Sinus und Kosinus lösen auch offensichtlich die Funktionalgleichung. Die Existenz einer Lösung lässt sich analytisch beispielsweise nachweisen, indem man zeigt, dass die Talyorreihen von Sinus und Kosinus oder eine andere der oben verwendeten analytischen Darstellungen von Sinus und Kosinus die Funktionalgleichung tatsächlich lösen.

Produktentwicklung

$\sin(x) = x \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{k^2\pi^2} \right)$

$\cos(x) = \prod_{k=1}^\infty \left( 1 - \frac{4x^2}{(2k-1)^2\pi^2} \right)$

Anwendungen

Geometrische Anwendungen

Bild:Sinussatz Beispiel.png

Skizze zum Beispiel

Mit der Definition des Sinus können auch im nicht rechtwinkligen Dreieck Größen, speziell die Höhen, berechnet werden; ein Beispiel ist die Berechnung von $h c$ im Dreieck DBC bei gegebener Länge $a$ und Winkel β:

$\frac{h_c}{a}= \sin(\beta)$

$h_c = a\cdot \sin(\beta)$

$h_c = 5,\!4~{\rm [LE]} \cdot \sin (44^\circ) = 3,\!751~{\rm [LE]}$

Andere wichtige Anwendungen sind der Sinussatzund der Kosinussatz.

Fourierreihen

Im Hilbertraum $L^2 [-\pi,\pi]\!$ der auf dem Intervall $[-\pi,\pi]\!$ bezüglich des Lebesgue-Maßesquadratisch integrierbarenFunktionen bilden die Funktionen

$1, \cos nx, \sin nx \quad n=1,2,\dots$

ein vollständiges Orthogonalsystem, das sogenannte trigonometrische System. Daher lassen sich alle Funktionen $f\in L^2[-\pi,\pi]$ als Fourierreihe

$S_n(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^n (a_k\cos nx + b_k \sin nx)$

darstellen, wobei die Funktionenfolge $S_n(x)\!$ in der $L 2$ -Normgegen $f(x)\!$ konvergiert.

Physikalische Anwendungen

In der Physikwerden Sinus- und Kosinusfunktion zur Beschreibung von Schwingungenverwendet. Insbesondere lassen sich durch die oben erwähnten Fourierreihenbeliebige Signale als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen darstellen, siehe Fourieranalyse.

Siehe auch

Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen
Sinussatz
Kosinussatz
Sinuston

Literatur

Leopold Vietoris, Vom Grenzwert $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ . Elemente Math. 12 (1957).

Weblinks

Java Applet "Dreieck und Sinussatz" zur Veranschaulichung
Näherungspolynome für Sinus und Kosinus (4.3.96-4.3.99 in Abramowitz and Stegun)
http://www.hutschdorf.de/flash/sinus.htm- interaktive Webanimation erstellt mit Macromedia Flash: Definition von sin(x), cos(x) und tan(x) am Einheitskreis

Bild:F x.png

Trigonometrischeund Arkusfunktionen

Sinus Kosinus Tangens Kotangens Sekans Kosekans
Arkussinus Arkuskosinus Arkustangens Arkuskotangens Arkussekans Arkuskosekans

da:Sinus (matematisk funktion)

en:Sine et:Siinus nl:Sinus en cosinus nn:Sinus pl:Sinus

Von "http://de.wikipedia.org/Sinus_und_Kosinus"

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