Verdoppelung

Das Doppelverhältnis (ABCD) von vier auf einer Geraden liegenden Punktenist eine Begriff aus der Geometrie. Es ist definiert als das Verhältnis zweier Teilverhältnisse.

In der Bezeichnung (ABCD) wird die Strecke [AB] als Basis aufgefasst, die durch die beiden Teilpunkte C und D geteilt wird. Es sei

$\left(ABT\right) = \lambda$

das durch

$\overrightarrow{AT} \, = \, \lambda \, \overrightarrow{TB}$

definierte Teilverhältnis. Dann ist

$\left(ABCD\right) = \frac{\left(ABC\right)}{\left(ABD\right)}$

das Doppelverhältnis der vier Punkte A, B, C und D.

Mit dieser Definition ist das Doppelverhältnis positiv, wenn die Teilpunkte C und D entweder beide innerhalb der Strecke [AB] oder beide außerhalb der Strecke [AB] liegen. Liegt einer der Teilpunkte innerhalb und der andere außerhalb der Strecke [AB], so ist das Doppelverhältnis (ABCD) negativ.

Mit den kartesichen Koordinaten $\left(x \vert x'\right)$ eines Punktes X in der euklidischen Ebene erhält man folgende Beziehung für das Doppelverhältnis der vier Punkte $A\left(a \vert a'\right), B\left(b \vert b'\right), C\left(c \vert c'\right), D\left(d \vert d'\right)$ :

$\left(ABCD\right) = \frac{\left(c - a\right)}{\left(b - c\right)}:\frac{\left(d - a\right)}{\left(b - d\right)} = \frac{\left(c' - a'\right)}{\left(b' - c'\right)}:\frac{\left(d' - a'\right)}{\left(b' - d'\right)}$

Vertauscht man die beiden Teilpunkte C und D oder die beiden Endpunkte der Basis, so erhält man offenbar den Kehrwert des Doppelverhältnisses, es ist also

$\left(ABDC\right) = \left(BACD\right) = \frac{1}{\left(ABCD\right)}$

Vertauscht man den Endpunkt der Basis mit dem ersten Teilpunkt, so erhält man

$\left(ACBD\right) = 1 - \left(ABCD\right)$

Auf diese Weise erhält man von vier Punkten einer Geraden höchstens sechs verschiedene Werte eines Doppelverhältnisses:

$\lambda,\qquad \frac{1}{\lambda}, \qquad 1 - \lambda,\qquad \frac{1}{1 - \lambda},\qquad \frac{\lambda - 1}{\lambda},\qquad \frac{\lambda}{\lambda - 1}$

Teilen die Punkte C und D die Basis [AB] innen und außen im selben Verhältnis, so ist

$\left(ABC\right) = - \left(ABD\right)$ und $\left(ABCD\right) = - 1$

In diesem Fall liegen die vier Punkte harmonisch.

Das Doppelverhältnis ist invariant gegenüber projektiven Abbildungen.en:Cross-ratio fr:Rapport anharmonique it:Birapporto ru:??????? ?????????

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