Wirbelsarkom

Unter der Rotation versteht man in der Mathematikeine bestimmte Funktioneines Vektorfeldes. Interpretiert man dieses Feld als Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort an, wie schnell und um welche Achse ein mitschwimmender Körper rotierenwürde. Dieser Zusammenhang ist namensgebend, im Allgemeinen muss jedoch keine Rotation im Sinne einer Drehbewegungim Spiel sein.

Hier einige praktische Beispiele:

Ein Wirbelsturmrotiert um sein so genanntes Auge, und ein Vektorfeld, das die Windgeschwindigkeiten eines Wirbelsturms angibt, hat eine von Null verschiedene Rotation im Auge, und möglicherweise noch an anderen Stellen.
Ein Vektorfeld, das die Geschwindigkeit jedes Punktes einer rotierenden Scheibe angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von Null verschiedene Rotation.
Das Vektorfeld einer Autobahn, deren Spuren von rechts nach links ansteigende Fahrzeuggeschwindigkeiten aufweisen, hat an den Mittellinien zwischen den Spuren eine von Null verschiedene Rotation.

Die Rotation lässt sich formal als Ableitungsoperatorinterpretieren, und gehört zusammen mit den anderen Ableitungsoperatoren Gradientund Divergenzder Vektoranalysisan, einem Untergebiet der mehrdimensionalen Analysis.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Verallgemeinerung auf Tensorfelder beliebiger Stufe
3 Rechenregeln
4 Integralsatz von Stokes
5 Anwendung

Definition

Die Rotation eines dreidimensionalen Vektorfeldes F = (F_x, F_y, F_z) ist wiederum ein dreidimensionales Vektorfeld. Es wird geschrieben als

$\operatorname{rot}\vec F = \nabla\times\vec F$

wobei $\nabla$ der Nabla-Operatorund rot das Funktionssymbol der Rotation ist. Das Kreuz bezeichnet dabei formal ein Kreuzprodukt, so dass die Rotation in kartesischen Koordinatenfolgendermaßen definiert ist

$\operatorname{rot}\vec F = \nabla\times\vec F = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}F_x\\F_y\\F_z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\frac{\partial F_z}{\partial y}} - {\frac{\partial F_y}{\partial z}} \\ {\frac{\partial F_x}{\partial z}} - {\frac{\partial F_z}{\partial x}} \\ {\frac{\partial F_y}{\partial x}} - {\frac{\partial F_x}{\partial y}} \end{pmatrix}$

Alternativ lässt sich die Rotation auch als formale Determinanteformulieren

$\nabla\times\vec F = \begin{vmatrix} \vec e_x & \vec e_y & \vec e_z \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$

In Kugelkoordinatenlautet die Rotation:

$\operatorname{rot}\,\vec F = \begin{pmatrix} \frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\phi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi } \right] \\ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \phi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\phi \right) \\ \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \end{pmatrix}$

In Zylinderkoordinatenmit $(r \, \varphi \, z)$ :

$\operatorname{rot}\,\vec F = \begin{pmatrix} \frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial F_\varphi}{\partial z} \\ \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r} \\ \frac 1 r \left[ \frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right] \end{pmatrix}$

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Feld von Pseudovektoren. Das bedeutet, dass die Rotation eines Vektorfeldes beim Wechsel von einem linkshändigen Koordinatensystem zu einem rechtshändigen das Vorzeichen wechselt. Analog ist die Rotation eines Pseudovektorfeldes ein Vektorfeld.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation überall null ist, nennt man wirbelfrei.

Verallgemeinerung auf Tensorfelder beliebiger Stufe

Ein Vektorfeld kann als Tensorfeld1. Stufe aufgefasst werden. Durch die Einsteinsche Summenkonventionund mit dem Levi-Civita-Symbollässt sich die Rotation eines Vektorfeldes wie folgt schreiben:

$(\nabla\times\vec F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_k$

Die Verallgemeinerung auf Tensoren $F_{j_1,j_2,\dots,j_N}$ beliebiger Stufe ist dann offensichtlich:

$(\nabla\times F)_i = \epsilon_{ijk} \partial_j F_{j_1,j_2,\dots,j_{N-1},k}$

Rechenregeln

Für alle konstanten Vektoren $\vec c\in\mathbb{R}^n$ , skalaren Felder u und Vektorfelder $\vec{F}$ und $\vec{G}$ gilt:

$\operatorname{rot}\,\vec c \cdot\vec{F} =\vec c \cdot\operatorname{rot}\,\vec{F}$
$\operatorname{rot}\,(\vec{F}+\vec{G}) =\operatorname{rot}\,\vec{F}+\operatorname{rot}\,\vec{G}$
$\operatorname{rot}(u\vec{F}) = u\,\operatorname{rot}\,\vec{F} + \operatorname{grad}\,u \times\vec{F}$
$\operatorname{rot}(\vec{F}\times\vec{G}) = \left(\vec{G}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{F} - \left(\vec{F}\cdot\operatorname{grad}\right)\vec{G} + \vec{F}\,\operatorname{div}\,\vec{G} - \vec{G}\,\operatorname{div}\,\vec{F}$
$\operatorname{rot}\;\operatorname{grad}\,u=\vec 0$
$\operatorname{rot}\;(\operatorname{rot}\,u)=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\,u) - \Delta u$

Integralsatz von Stokes

Eine wichtige Rolle in der Vektoranalysisspielt die Rotation beim Satz von Stokes. Dieser erlaubt die Umwandlung eines Oberflächenintegralsin ein Kurvenintegral:

$\int_{M} (\operatorname{rot}\;\mathbf{F}) \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \oint_{\partial M} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$

Anwendung

Die Rotation in allgemein orthogonalen Koordinaten:

$\vec{\nabla} \times\vec{V}= \frac{\vec{e}_{q_{1}}} {h_2h_3} \left[ \frac{ \partial (h_3V_3)}{\partial q_2} - \frac{ \partial (h_2V_2)}{\partial q_3}\right] + {}$ $\frac{\vec{e}_{q_{2}}} {h_1h_3} \left[ \frac{ \partial (h_1V_1)}{\partial q_3} - \frac{ \partial (h_3V_3)}{\partial q_1}\right] + {}$ $\frac{\vec{e}_{q_{3}}} {h_1h_2} \left[ \frac{ \partial (h_2V_2)}{\partial q_1} - \frac{ \partial (h_1V_1)}{\partial q_2}\right]$ mit $h_a = {\left| {\frac{\partial{\vec{r}}}{\partial{q_a}}} \right| }$ en:Curl es:Rotor it:Rotore (fisica) ja:?? (??) tr:Rotasyonel zh:??

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