Wurzelsyndrom

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Dieser Artikel behandelt den Begriff im mathematischen Sinne. Für die biologische Bedeutung Wurzelwerksiehe Wurzel (Pflanze)

Wurzelsysteme dienen in der Mathematikals Hilfsmittel zur Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppenund der endlichdimensionalenhalbeinfachen komplexen Lie-Algebren.

Definitionen

Eine Teilmenge R eines VektorraumsV über einem Körper (Mathematik)der Charakteristik 0 heißt (reduziertes) Wurzelsystem, falls sie die drei folgenden Bedingungen erfüllt:

R ist endlich und erzeugt V.
Zu jedem ? aus R ist -? das einzige in R enthaltene Vielfache von ?.
Zu jedem ? aus R gibt es eine Spiegelung s: V?V, die R in sich abbildet, so dass s(?)=-? gilt und s(?)-? für alle ? aus R ein ganzzahliges Vielfaches von ? ist.

Eine Teilmenge ? eines Wurzelsystems R heißt Basis, falls man jedes Element von R als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von ? mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Koeffizienten darstellen kann.

Man kann zeigen, dass die Spiegelung s aus 3. für jedes ??R eindeutig ist. Die Linearform $\alpha^\vee\in V^*$ , für die

$s(\lambda)=\lambda - \left\langle\lambda,\alpha^\vee\right\rangle\alpha$

gilt, heißt Kowurzel zu ?.

Klassifikation

Bis auf Isomorphieist sämtliche Information über ein Wurzelsystem in seiner Cartan-Matrix

$C(R)=\left(\left\langle\alpha,\beta^\vee\right\rangle\right)_{\alpha,\beta\in\Pi}$

enthalten. Man kann dies auch in Form eines Dynkin-Diagramms darstellen. Dazu setzt man für jedes Element einer Basis einen Punkt und verbindet die Punkte ? und ? durch Striche, deren Anzahl durch

$\left\langle\alpha,\beta^\vee\right\rangle\left\langle\beta,\alpha^\vee\right\rangle$

bestimmt wird. Sind dies mehr als einer, so setzt man zusätzlich zwischen beide Punkte ein Relationszeichen > bzw. <, d.h. einen 'Pfeil' in Richtung der kürzeren Wurzel. Als Zusammenhangskomponenten eines Dynkin-Diagramms, das ein Wurzelsystem halbeinfacher komplexer Lie-Algebren darstellt, können nur auftreten:

Bild:Irreduzible Wurzelsysteme.png

Literatur

Jean-Pierre Serre: Complex Semisimple Lie Algebras, Springer, Berlin, 2001.en:Root system

fr:Système de racines hu:Gyökrendszer

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