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Halbwertszeit

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in welcher sich ein exponentiellmit der Zeit abnehmender Wert halbiert hat. Ein solch exponentielles Verhalten ergibt sich etwa daraus, dass die Wahrscheinlichkeitfür ein Ereignis innerhalb einer gewissen Zeit eine Konstante ist, was für viele Fälle zutrifft. Daher lassen sich viele Phänomenemit einer Halbwertszeit (Abk.: HWZ) beschreiben.

Das bekannteste Beispiel hierfür ist der Zerfall radioaktiver Isotope.

Bei exponentiellemWachstum spricht man statt der Halbwertszeit von einer Verdoppelungsrate, die der Halbwertszeit mit umgekehrtem Vorzeichen des Exponenten der Verfallsgleichung entspricht.

Fälschlicherweise wird gelegentlich von Laienangenommen, dass nach zwei Halbwertszeiten, z.B. bei radioaktiven Isotopen, die Substanz vollständig zerfallen ist; es ist jedoch so, dass die nach einer Halbwertszeit verbliebene Hälfte im Lauf der nächsten Halbwertszeit wiederum halbiert wird, d.h. es verbleibt ¹/₄; nach 3 Halbwertszeiten ¹/₈ usw. (¹/₁₆, ¹/₃₂, ¹/₆₄, ...) bis letztlich nur noch ein einzelner Kern übrig ist. Der Zerfall dieses einen (wie auch jedes anderen einzelnen) Kerns kann allerdings nicht vorhergesagt werden, da lediglich eine Wahrscheinlichkeit für dessen Zerfall innerhalb einer gegebenen Zeit angegeben werden kann. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein betrachteter Kern innerhalb der ersten Halbwertszeit zerfällt, beträgt 50%, dass er innerhalb von 2 Halbwertszeiten zerfällt 50% + 25% = 75%, bei 3 Halbwertszeiten beträgt der Wert 50% + 25% + 12,5% = 87,5%, u.s.w.

Inhaltsverzeichnis

1 Zerfallsgesetz
2 Mathematische Definition der Halbwertszeit
3 Radioaktive Halbwertszeit
- 3.1 Anwendung: Die Radiocarbonmethode
  - 3.1.1 Beispiel
4 Biologische Halbwertszeit
5 Bibliometrische Halbwertszeiten
6 Verwandte Begriffe

Zerfallsgesetz

Es sei ein radioaktives Präparat mit N₀ Kernen; zum Zeitpunkt t=0 ist noch keiner der Kerne zerfallen. Mit der Aktivitätgilt die Differentialgleichung

$N\cdot\lambda =-\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t}$

$-\lambda \cdot \mathrm d t=\frac{\mathrm d N}{N}$

$\int -\lambda \cdot \mathrm d t=\int\frac{\mathrm d N}{N} \Leftrightarrow -\lambda t + C_1=\ln(N)+C_2$

Für t=0 sind nach Voraussetzung noch N₀ Kerne vorhanden. Damit gilt für $C 1$

$C_1=\ln \left(N_0 \right)+C_2$

$-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) + C_2= \ln(N) + C_2$

$-\lambda t + \ln \left(N_0 \right) = \ln(N)$

$-\lambda t = \ln(N)-\ln\left(N_0\right) = \ln\left(\frac{N}{N_0}\right)$

$e^{-\lambda t} = \frac{N}{N_0}$

$N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

Hierbei ist die Geschwindigkeit der Abnahme durch die Zerfallskonstante ? bestimmt. Sie ist das Reziproke der Lebensdauer $τ = 1 / λ$ . Beim radioaktiven Zerfall sind also nach der Zeitt von N₀ Ausgangskernen noch N übrig.

Mathematische Definition der Halbwertszeit

Sei $T_{\frac{1}{n}}$ die Zeit, nach der die Ausgangsmenge $N 0$ auf das 1/n-fache abgefallen ist (für die Halbwertszeit gilt n=2):

$N(T_{\frac{1}{n}})= \frac{N_0}{n} = N_0 \cdot e^{-\lambda T_{\frac{1}{n}}}$

Danach wird auf beiden Seiten durch $N 0$ geteilt und logarithmiert.

$\ln\left(\frac{1}{n}\right)= -\lambda \cdot T_{\frac{1}{n}}$

Daraus folgt dann unter Beachtung der Logarithmengesetze:

$T_{\frac{1}{n}} = \frac{\ln\left(n\right)}{\lambda}$

Speziell für die Halbwertszeit gilt (n=2):

$T_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln\left(2\right)}{\lambda}$

Radioaktive Halbwertszeit

Die physikalische Halbwertszeit ist in der Kernphysikdiejenige Zeitspanne, die statistisch gesehen verstreicht, bis die Mengeeines bestimmten radioaktivenNuklidsauf die Hälfte gesunken ist, das heißt sich in andere Atome umgewandelt hat. Für jedes Nuklid ist die Halbwertszeit eine Konstante.

Die Anzahl der verbleibenden Kerne zu einer bestimmten Zeit ist durch das Zerfallsgesetz gegeben.

Halbwertszeiten einiger radioaktiver Nuklide:

Element	Formelzeichen	Halbwertszeit
Wismut	²⁰⁹Bi	ca. 1,9·10¹⁹ Jahre
Uran	²³⁸U	4,5. Mrd. Jahre
Plutonium	²³⁹Pu	24000 Jahre
Kohlenstoff	¹⁴C	5730 Jahre
Tritium	³H	12,36 Jahre
Caesium	¹³⁷Cs	30 Jahre
Radium	²³⁶Ra	1622 Jahre
Radon	²²²Rn	3,8 Tage
Francium	²²³Fr	22 Minuten
Thorium	²²³Th	0,9 Sekunden
Polonium	²¹²Po	0,3 µs

Mathematisch betrachtet verschwindet die radioaktive Strahlung also nie, physikalisch ist natürlich mit der Umwandlung des letzten Atoms eine Grenze gesetzt. Oft nutzt man als Abschätzung die Zeitdauer, nach der die Aktivität auf den Faktor 2^-10 = 1/1024 gefallen ist, was nach der 10fachen Halbwertszeit der Fall ist.

Siehe auch: Lebensdauer (Physik)

Anwendung: Die Radiocarbonmethode

Das radioaktive Kohlenstoffnuklid ¹⁴C ist in einem festen Verhältnis im Kohlenstoffdioxidunserer Atmosphäre enthalten. Durch den anteiligen Einbau des Nuklids bei der Photosynthesein die Biomasse der Pflanzen und weiter über die Nahrungskette kommt es auch im Körper aller Lebewesen zu einem festen Verhältnis zwischen normalem ¹²C und radioaktivem ¹⁴C. Wenn ein Lebewesen stirbt, dann hört es auf mit der Photosynthese bzw. mit der Nahrungsaufnahme. Das hat zur Folge, dass der Anteil an ¹⁴C ab genau diesem Zeitpunkt entsprechend dem radioaktiven Zerfall exponentiell mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren abnimmt. Anhand der radioaktiven Reststrahlung, die von einem toten Lebewesen ausgeht, kann man durch diese Radiokarbonmethode bestimmen, wie viel Prozent des ursprünglichen ¹⁴C Anteils noch vorhanden sind und in der Folge den Zeitpunkt des Todes des Lebewesens und damit das Alter des Fundes bestimmen.

Beispiel

Der Balken eines historischen Gebäudes hat noch 90% des ursprünglichen Gleichgewichtsanteils an ¹⁴C in frischer Pflanzenmasse. Dann gilt für die verstrichene Zerfallszeit:

$\mathrm{t} = \mathrm{t}_{1/2} \cdot \mathrm{log}_2(0{,}9) = 5730a \cdot \mathrm{log}_2\left(0{,}9\right) = -870,98a$

Das bedeutet, dass der Baum, aus dem der Balken gemacht wurde, vor etwa 871 Jahren geschlagen worden ist.

Die Datierung ist nicht auf das Jahr genau. Die mögliche Genauigkeit hängt von der Menge verfügbaren Probematerials und der aufgewendeten Zähldauer ab und wird auch mit zunehmendem Alter der Probe immer geringer.

Biologische Halbwertszeit

Die biologische Halbwertszeit bezeichnet im speziellen die Zeitspanne t_1/2, in welcher in einem biologischen Organismus(Mensch, Tier, Pflanze, Einzeller) der Gehalt einer inkorporiertenradioaktiven, toxischenoder pharmazeutischenSubstanz durch biologische oder physikalische Prozesse (Stoffwechsel, Ausscheidung, radioaktiver Zerfall, etc.) auf die Hälfte abgesunken ist.

In der Pharmakokinetikbezeichnet man als Halbwertszeit die Zeit, in der die Hälfte des aufgenommenen Arzneimittels verstoffwechselt und/oder ausgeschieden ist. Da sich die biologische Halbwertzeit aus verschiedenen Prozessen zusammensetzt, die teilweise unterschiedliche Konzentrationsabhängigkeiten besitzen, ist sie nicht immer unabhängig von der Ausgangskonzentration des untersuchten Stoffes.

Bibliometrische Halbwertszeiten

In der Bibliometrielassen sich bei der Untersuchung von Publikationenverschiedene Halbwertszeiten feststellen. Brooks untersuchte als einer der ersten Halbwertszeiten auf diesem Gebiet.

Die Halbwertszeit von Literatur beträgt etwa 5 Jahre. Dies gilt sowohl für die Lektüre als auch die Anzahl der Zitationen. Das heißt, dass ein Werk durchschnittlich jedes Jahr um etwa 14% weniger oft aus einer Bibliothekentliehen oder zitiert wird als im vorangegangenen (abgesehen von Klassikern und den neuesten Werken).

Die Halbwertszeit von Hyperlinks beträgt etwa 51 Monate. Das heißt, dass nach einem Jahr etwa 15% aller Hyperlinks nicht mehr gültig sind.